Statistique
Plans d'expériences
En anglais : DOE — design of experiments
Un plan d'expériences organise les essais pour mesurer l'effet de plusieurs facteurs à la fois, et détecter leurs interactions, avec beaucoup moins d'essais que la méthode intuitive.
Pourquoi ne pas faire varier un facteur à la fois
La démarche spontanée fixe tous les paramètres sauf un, mesure, puis passe au suivant. Elle est intuitive, et elle a deux défauts qui la rendent souvent inutile.
Elle ne voit aucune interaction. Si l'effet de la température dépend de la pression, faire varier l'une à pression fixe donne une réponse valable pour cette pression-là uniquement. Les interactions sont la règle sur les procédés réels, pas l'exception.
Elle coûte plus cher pour moins d'information. Un plan factoriel complet à trois facteurs sur deux niveaux demande huit essais et fournit les trois effets principaux plus toutes leurs interactions. La méthode un-à-la-fois, à nombre d'essais comparable, ne fournit que les effets principaux — et de façon moins précise, chaque effet ne reposant que sur deux essais.
Les trois principes qui font tenir un plan
La randomisation. L'ordre des essais est tiré au sort, pour qu'une dérive dans le temps — échauffement, usure, changement d'équipe — ne se confonde pas avec l'effet d'un facteur. Exécuter les essais dans l'ordre du tableau est la faute la plus fréquente, et elle ruine la conclusion sans laisser de trace.
La répétition. Refaire des essais dans les mêmes conditions donne une estimation de la variabilité naturelle, sans laquelle on ne peut pas dire si un écart observé est un effet ou du bruit.
Le blocage. Quand une source de variation est connue et inévitable — deux lots de matière, deux machines — on l'organise en blocs plutôt que de la subir, ce qui retire son effet de l'analyse au lieu de le laisser polluer les résultats.
Complet ou fractionnaire
Un plan complet teste toutes les combinaisons : avec sept facteurs à deux niveaux, cela fait cent vingt-huit essais, rarement finançables.
Un plan fractionnaire n'en teste qu'une partie choisie, ce qui réduit fortement le nombre d'essais au prix d'une confusion : certains effets deviennent indiscernables les uns des autres. Le plan indique lesquels, et c'est ce qu'il faut lire avant de lancer les essais, pas après.
La pratique courante enchaîne les deux : un plan fractionnaire pour écarter les facteurs sans effet, puis un plan complet sur les deux ou trois facteurs restants, éventuellement complété pour explorer les non-linéarités.
Les erreurs fréquentes
Choisir des niveaux trop proches. Deux niveaux qui ne diffèrent que de peu produisent un effet noyé dans la variabilité de mesure, et le plan conclut à tort qu'un facteur important n'a pas d'effet. Les niveaux doivent être écartés autant que le procédé le tolère.
Lancer un plan sans avoir vérifié le système de mesure. Si la mesure est bruitée, aucun effet réel ne ressortira, et on aura payé des essais pour mesurer l'incertitude de son propre instrument.
Sur le terrain — Chimie de spécialités
Une optimisation menée facteur par facteur pendant six mois n'avait rien donné. Un plan factoriel à trois facteurs, huit essais et deux jours, a montré que l'effet du temps de réaction s'inversait selon la concentration du catalyseur. L'interaction expliquait à elle seule l'échec des essais précédents.
Questions fréquentes
Combien d’essais faut-il prévoir ?
Un plan factoriel complet à deux niveaux demande deux puissance le nombre de facteurs — huit essais pour trois facteurs, seize pour quatre. On ajoute quelques répétitions au centre du domaine pour estimer la variabilité et détecter une courbure. Un plan fractionnaire divise ce nombre par deux, quatre ou plus, selon la confusion acceptée.
Qu’est-ce qu’une interaction ?
Une situation où l'effet d'un facteur dépend du niveau d'un autre. Graphiquement, deux droites qui ne sont pas parallèles. C'est ce qu'un plan d'expériences détecte et qu'aucune série d'essais un-à-la-fois ne peut voir — et c'est souvent là que se cache l'explication d'un procédé qu'on ne comprend pas.
Un plan d’expériences prouve-t-il la causalité ?
Oui, et c'est ce qui le distingue de l'analyse de données historiques. On impose les niveaux au lieu de les subir, on randomise l'ordre, on répète : ce qui change dans la réponse ne peut venir que de ce qu'on a délibérément fait varier. C'est le seul outil de la boîte Six Sigma qui établisse un lien causal.
Faut-il un logiciel spécialisé ?
Pour construire et analyser un plan à quatre facteurs ou plus, oui — la construction des plans fractionnaires et la lecture des confusions ne s'improvisent pas. Un plan complet à deux ou trois facteurs se calcule et se trace dans un tableur, et c'est un excellent premier pas pour comprendre la méthode.
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