Statistique
ANOVA — analyse de la variance
En anglais : ANOVA (analysis of variance)
L'analyse de la variance compare les moyennes de plusieurs groupes en une seule fois, en jugeant si l'écart entre les groupes est grand devant la dispersion observée à l'intérieur de chacun.
Le raisonnement
La méthode oppose deux sources de variation. La première est l'écart entre les groupes : les moyennes de chacun ne sont pas identiques. La seconde est la dispersion interne : à l'intérieur d'un même groupe, les valeurs varient déjà entre elles.
La conclusion se joue sur le rapport des deux. Si les groupes s'écartent beaucoup plus les uns des autres que leurs valeurs ne s'écartent à l'intérieur, la différence n'est probablement pas due au hasard. Si les deux variations sont du même ordre, rien ne permet de distinguer les groupes.
C'est ce qui explique un résultat souvent mal reçu : deux moyennes très différentes peuvent ne rien prouver si les mesures sont très dispersées, tandis qu'un écart modeste devient significatif sur des données régulières.
Pourquoi ne pas comparer deux à deux
La tentation devant quatre machines est de faire six comparaisons deux à deux. Le problème est cumulatif : chaque comparaison porte son propre risque de conclure à tort, et six comparaisons enchaînées rendent la fausse alerte probable même quand toutes les machines sont identiques.
L'analyse de la variance pose une seule question globale — « ces groupes diffèrent-ils quelque part ? » — et maîtrise donc ce risque. C'est sa raison d'être, plus encore que la commodité.
Elle ne dit pas en revanche lesquels diffèrent. Quand la réponse globale est positive, on identifie les groupes concernés par des comparaisons prévues à cet effet, qui tiennent compte du nombre de comparaisons effectuées.
Ce qu’elle suppose
Elle suppose des groupes constitués d'observations indépendantes, des dispersions internes comparables d'un groupe à l'autre, et des écarts au modèle qui se répartissent sans forme particulière. Ces conditions se vérifient, notamment en examinant les résidus, avant de commenter un résultat.
La condition la plus souvent violée en pratique est l'indépendance : des mesures prises à la suite sur la même machine se ressemblent entre elles pour des raisons qui n'ont rien à voir avec le groupe. Cette dépendance fait apparaître des différences qui n'existent pas.
Un déséquilibre marqué entre les effectifs des groupes affaiblit également la conclusion, sans l'invalider. Un groupe de trois valeurs face à un groupe de cent pèse peu, et le résultat dit surtout quelque chose du plus fourni des deux.
Les erreurs fréquentes
Conclure « les groupes sont différents » sans dire lesquels. La réponse globale est un feu vert pour chercher, pas une conclusion présentable telle quelle.
Enchaîner des comparaisons deux à deux quand un groupe s'est révélé intéressant, sans tenir compte de leur nombre. C'est exactement le risque que la méthode servait à maîtriser, réintroduit à l'étape suivante.
Prendre l'absence de différence détectée pour une preuve d'équivalence. Avec peu de mesures ou beaucoup de dispersion, la méthode ne détecte rien même quand un écart réel existe.
Sur le terrain — Traitement de surface
Quatre bains étaient soupçonnés de donner des épaisseurs différentes. L'analyse a conclu à une différence, et l'examen des résidus a montré qu'elle tenait à un seul bain, celui dont le thermorégulateur avait été remplacé. Les trois autres étaient indiscernables, ce que la moyenne générale n'aurait jamais laissé voir.
Questions fréquentes
Quand utiliser une ANOVA plutôt qu’un test de comparaison de deux moyennes ?
Dès qu'il y a plus de deux groupes à comparer sur la même grandeur. Pour deux groupes seulement, les deux approches donnent la même conclusion et le test à deux échantillons est plus direct. L'intérêt de l'analyse de la variance apparaît à partir de trois, parce qu'elle évite d'accumuler les comparaisons et le risque qui va avec.
Que faire si les dispersions sont très différentes d’un groupe à l’autre ?
Ne pas ignorer le constat, car il est souvent plus intéressant que la comparaison des moyennes elle-même : un groupe nettement plus dispersé signale une instabilité qui mérite d'être traitée en priorité. Sur le plan du calcul, il existe des variantes qui ne supposent pas l'égalité des dispersions, et une transformation des données résout parfois le problème.
Combien de mesures faut-il par groupe ?
Assez pour que la dispersion interne soit estimée correctement, ce qui suppose au minimum une dizaine de valeurs par groupe dans des conditions ordinaires, davantage si les mesures sont bruitées. Le bon réflexe est de déterminer cet effectif avant de collecter, à partir de l'écart qu'on souhaite pouvoir détecter, plutôt que de constater après coup qu'on n'a rien trouvé.
Une différence significative est-elle une différence importante ?
Pas nécessairement, et c'est la confusion la plus répandue. La significativité dit qu'un écart n'est probablement pas dû au hasard ; elle ne dit rien de son ampleur ni de son intérêt pratique. Sur beaucoup de données, un écart sans conséquence ressort comme significatif — la question suivante est donc toujours « de combien », posée dans l'unité du procédé.
Voir aussi
S'entraîner sur ce thème
Le parcours Six Sigma Green Belt comporte des questions sur ce sujet. Il fait partie de l’accès complet.
Voir le parcours